**Uwaga:** pierwszy wykład z algebry odbędzie się w poniedziałek 24 lutego, w porze repetytorium.
**Program:**
1. Przestrzenie liniowe. Zbiory liniowo niezależne. Algorytm eliminacji Gaussa. Bazy.
2. Przekształcenia liniowe.
3. Macierze. Rząd macierzy.
4. Macierze a przekształcenia liniowe: przekształcenie zadane przez macierz, wyrażanie przekształceń w bazie. Macierze zmiany bazy.
3. Wyznaczniki. Własności wyznaczników. Rozwinięcie Laplace’a.
4. Równania liniowe. Zbiór rozwiązań układu równań liniowych. Wzory Cramera.
5. Wartości i wektory własne. Wielomian charakterystyczny. Postać Jordana. Macierze diagonalizowalne; diagonalizowalność macierzy symetrycznych.
6. Iloczyn skalarny. Rzut ortogonalny. Izometrie i przekształcenia ortogonalne. Elementy geometrii.
7. Macierze dodatnio określone.
8. Grupy — podstawowe pojęcia: rząd grupy, rząd elementu grupy, podgrupa.
9. Grupy permutacji. Rozkład permutacji na cykle. Znak permutacji.
10. Działanie grupy na zbiorze.
Orbity i stabilizatory. Lemat Burnside’a. Warstwy. Twierdzenie Lagrange’a.
11. Arytmetyka modularna. Relacja podzielności. Pierścienie i pierścienie Zn.
12. Algorytm Euklidesa. Chińskie twierdzenie o resztach.
13. Pierścienie wielomianów. Podzielność wielomianów.
14. Przykład konstrukcji ciała skończonego.
**Wymagania:**
* Matematyka w zakresie szkoły średniej.
* Podstawy analizy
matematycznej.
* Podstawy logiki i teorii mnogości.
**Literatura**
W zasadzie każda książka do algebry liniowej i algebry
powinna pokryć przerabiany materiał. Poniżej przykładowe pozycje.
1. A. Białynicki-Birula, Algebra
2. G. Birkhoff, S. Mac Lane, Przeglad algebry współczesnej
3. B. Gleigchgewicht,
Algebra
4. A. Kostrikin, J. Manin, Algebra liniowa i geometria
5. A. Kostrikin, Zbiór zadań z algebry
6. A. Kostrikin, Wstęp do algebry t. 1-3
7. A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej
8. A. Mostowski, M. Stark, Algebra liniowa
9. J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach
