Takie zjawiska otaczającej nas przyrody, jak ruch w polu grawitacyjnym, drgania sprężyny, ruch po orbicie, zagadnienia epidemiologiczne, czy model drapieżnika i ofiary, ... opisywane są za pomocą rownań rożniczkowych zwyczajnych. Wykład jest elementarnym wprowadzeniem do teorii rownań rożniczkowych zwyczajnych oraz do metod numerycznych rozwiązywania takich rownań. Do dyspozycji są m.in. programy ilustracyjne z modułu dydaktycznego RR-Rownania rożniczkowe, ktore ilustrują działanie omawianych metod i pomagają w zrozumieniu algorytmow rozwiązywania zagadnień początkowych dla rownań rożniczkowych zwyczajnych. Interesujacym i pięknym sposobem modelowania spotykanych w przyrodzie form (płatek śniegu, błyskawica, chmury, marmur, ...) jest generowanie fraktali. Poznamy podstawowe własności fraktali oraz elementarne algorytmy ich generowania. Wykorzystywane są własne oraz publikowane procedury i systemy do generowania fraktali. Przewiduje się projekcję filmu video. Do prezentacji własności metod i modeli stosuje się grafikę komputerową, w tym animację obrazu. Bardzo wygodnym systemem do programowania obliczeń jest MATLAB. Sporo najnowszych materiałow pomocniczych można znaleźć w internecie.
Kontynuacją przedmiotu mogą być "Obliczenia w technice" - aktualnie wykład ten został zawieszony. Na tym wykładzie omawiane byłyby przede wszystkim metody numeryczne rozwiązywania rownań rożniczkowych cząstkowych.
Analiza matematyczna - funkcje wielu zmiennych,
Analiza numeryczna - rozwiązywanie rownań i układow rownań,
Programowanie i grafika - wykresy funkcji i animacja.
# Elementarne wprowadzenie do teorii rownań rożniczkowych. Przykłady rownań zwyczajnych i rownań cząstkowych.
# Zagadnienia początkowe
## Przykłady zagadnień początkowych w przyrodzie: rozmnażanie bakterii, model drapieżniki-ofiary, ruch drgający: drganie sprężyny, drgania harmoniczne, krzywe Lissajous, ruch wahadła, drganie obciążonej siatki sprężynowej, problemy balistyczne z oporem ośrodka lub bez, kilka przykładow rownań opisujących ruch po orbicie.
## Rozwiązywanie zagadnień początkowych: Metody Rungego-Kutty: metody jawne, niejawne, błąd lokalny i błąd globalny. Sterowanie wielkością kroku. Metody włożone. Obszar stabilności absolutnej metody.
# Zagadnienia brzegowe
## Przykłady zagadnień brzegowych: jednowymiarowy rozpływ ciepła, zagadnienie balistyczne.
## Rozwiązywanie zagadnień brzegowych. Sprowadzenie zadania do zagadnienia początkowego - metoda strzałow. Schematy rożnicowe. Rząd aproksymacji schematu, metoda przegnania rozwiązywania układu rownań liniowych o macierzy trojprzekątniowej dla rownania liniowego 2 rzędu. Stabilność metody przegnania.
# Elementarne wprowadzenie do fraktali
## Przykłady fraktali: krzywa Kocha, ilustracja wynikow metody Newtona zastosowanej do rownania zespolonego z^4-1=0, paprotka Barnsley'a, żuczek Mandelbrota, atraktor Lorenza, ... . Samopodobieństwo figur. Układ iterowanych odwzorowań. Atraktory. Wymiar fraktalny.
K. Eriksson, D. Estep, P. Hansbo, C. Johnson, Computational Differential Equations, Cambridge, University Press, 1996.
M. Gewert, Z. Skoczylas, Rownania rożniczkowe zwyczajne, GiS, Wrocław 2002.
E. Hairer, S. Norsett, G. Wanner, Solving ordinary differential equations I: nonstiff problems, Springer-Verlag 1993.
A. Krupowicz, Metody numeryczne zagadnień początkowych rownań rożniczkowych zwyczajnych, PWN, Warszawa 1986.
A. Palczewski, Rownania rożniczkowe zwyczajne, WNT, Warszawa 1999.
G. Sewell, The numerical solution of ordinary and partial differential equations, Academic Press INC., New York, 1988.
J. Stoer, R. Bulirsch, Wstęp do metod numerycznych, PWN, Warszawa 1987.
A. Szustalewicz, Moduł RR-rownania rożniczkowe, w Elementy informatyki, pakiet oprogramowania edukacyjnego (red. M.M. Sysło), OFEK, Wrocław i Poznań 1992.
J. Kudrewicz, Fraktale i chaos, WNT, Warszawa 1996.
T. Martyn, Fraktale i obiektowe algorytmy ich wizualizacji, (Biblioteka Użytkownika Komputerow 26), Nakom, Poznan 1996.
H.O. Peitgen, H.Jurgens, D.Saupe, Granice chaosu FRAKTALE, PWN 1997.
P. Pierański, FRAKTALE od geometrii do sztuki, OWN, Poznan 1992.
