Takie zjawiska otaczającej nas przyrody, jak ruch w polu grawitacyjnym,
drganie sprężyny, ruch po orbicie, zagadnienia epidemiologiczne, czy model
drapieżnika i ofiary, ... opisywane są za pomocą równań różniczkowych
zwyczajnych. Wykład jest wprowadzeniem do elementarnych metod numerycznych
rozwiązywania takich równań. Do dyspozycji są m.in. programy z modułu
dydaktycznego RR-Równania różniczkowe ([8]), które ilustrują działanie
omawianych metod i pomagają w zrozumieniu algorytmów rozwiązywania zagadnień
początkowych dla równań różniczkowych zwyczajnych. Interesujacym i pięknym
sposobem modelowania spotykanych w przyrodzie form (płatek śniegu, błyskawica,
chmury, marmur, ...) jest generowanie fraktali. Poznamy podstawowe własności
fraktali oraz elementarne algorytmy ich generowania. Wykorzystywane są własne
oraz publikowane procedury i systemy do generowania fraktali, np. [9-12].
Przewiduje się projekcję filmu video. Do prezentacji własności metod i modeli
stosuje się grafikę komputerową, w tym animację obrazu. Bardzo wygodnym
systemem do programowania obliczeń jest MATLAB. Sporo najnowszych materiałów
pomocniczych można znaleźć w internecie.
Kontynuacją przedmiotu mogą być Obliczenia w technice. Na tym wykładzie
omawiane byłyby przede wszystkim metody numeryczne rozwiązywania równań
różniczkowych cząstkowych. Aktualnie, wykład ten został zawieszony...
**Program:**
1. Elementarne wprowadzenie do teorii równań różniczkowych. Przykłady równań zwyczajnych i równań cząstkowych.
2. Zagadnienia początkowe
1. Przykłady zagadnień początkowych w przyrodzie: rozmnażanie bakterii, model drapieżniki-ofiary, ruch drgający: drganie sprężyny, drgania harmoniczne, krzywe Lissajous, ruch wahadła, drganie obciążonej siatki sprężynowej, problemy balistyczne z oporem ośrodka lub bez, kilka przykładów równań opisujących ruch po orbicie.
2. Rozwiązywanie zagadnień początkowych: Metody Rungego-Kutty: metody jawne, niejawne, błąd lokalny i błąd globalny. Sterowanie wielkością kroku. Metody włożone. Obszar stabilności absolutnej metody.
3. Zagadnienia brzegowe
1. Przykłady zagadnień brzegowych: jednowymiarowy rozpływ ciepła, zagadnienie balistyczne.
2. Rozwiązywanie zagadnień brzegowych. Sprowadzenie zadania do zagadnienia początkowego - metoda strzałów. Schematy różnicowe. Rząd aproksymacji schematu, metoda przegnania rozwiązywania układu równań liniowych o macierzy trójprzekątniowej dla równania liniowego 2 rzędu. Stabilność metody przegnania.
4. Elementarne wprowadzenie do fraktali
5. Przykłady fraktali: krzywa Kocha, ilustracja wyników metody Newtona zastosowanej do równania zespolonego z^4-1=0, paprotka Barnsley'a, żuczek Mandelbrota, atraktor Lorenza, ... . Samopodobieństwo figur. Układ iterowanych odwzorowań. Atraktory. Wymiar fraktalny.
**Wymagania:** Analiza matematyczna Analiza numeryczna
