Efektywne Algorytmy Numeryczne
===
## Opis przedmiotu
Celem zajęć jest przedstawienie zaawansowanych metod i algorytmów numerycznych stosowanych do rozwiązywania problemów obliczeniowych.
**Rozwiązywanie równań algebraicznych**
Ogólna teoria metod iteracyjnych. Metoda Bairstowa. Metoda Laguerre'a.
**Rozwiązywanie układów równań nieliniowych**
Wielowymiarowa metoda Netwona.
**Optymalizacja numeryczna**
Metody gradientowe w optymalizacji numerycznej.
Optymalizacja bez obliczania pochodnych (ang. `derivative-free`)
**Całkowanie numeryczne**
Kwadratura liniowa wysokiego rzędu.
Prektyczne metody całkowania. Adaptacyjne metody całkowania.
Kwadratury Gaussa, Gaussa-Czebyszewa, Gaussa-Legendre'a, Gaussa-Hermite'a.
Kwadratury adaptacyjne: kwadratury Gaussa-Kronroda.
**Szybka transformata FFT**
Interpolacja trygonometryczna.
Zastosowania szybkiej transformaty Fouriera w problemach obliczeniowych.
**Algorytmy numeryczne w problemach algebry liniowej**
Ortogonalizacje macieczy. Metody obrotów Givensa. Metoda ortogonalzacji Householdera.
Rozkład **SVD** macierzy. Rozkład **QR**.
Analiza głównych składowych (ang. **PCA**).
**Numeryczne metody rozwiązywania równań różniczkowych**
Ogólna teoria równań różniczkowych zwyczajnych (ang. **ODE**) i cząstkowych (ang. **PDE**).
Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych.
## Metody kształcenia
* wykład,
* wykład interaktywny,
* prezentacja,
* live coding,
* ćwiczenia z systemem deklaracji (rozwiązywanie zadań teoretycznych i typu włącz komputer z komentowaniem),
* indywidualne/grupowe rozwiązywanie zadań/problemów,
* analiza algorytmów pod kątem ich poprawności, złożoności i efektywności.
## Wymagania wstępne
1. Analiza matematyczna (ciągi, funkcje, granice, szeregi, różniczkowanie, szereg Taylora, całkowanie).
2. Algebra liniowa (algebra macierzy, układy równań liniowych, pojęcie bazy, jej wymiar i ortogonalizacja).
3. Umiejętność programowania np. w języku Python.
4. Analiza numeryczna (wariant podstawowy).
## Literatura
- A. Björck, G. Dahlquist, Metody numeryczne, PWN, 1987.
- D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna, WNT, 2005.
- G. Dahlquist, A. Björck, Numerical Methods in Scientific Computing, Vol. I, SIAM, 2008.
- W. Gautschi, Numerical Analysis. An Introduction, Birkhäuser, 1997.
- G. Hämmerlin, K.-H. Hoffmann, Numerical Mathematics, Springer-Verlag, 1991.
- A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical Mathematics, Springer-Verlag, 2000.
