Algebra

Program:

1. Przestrzenie liniowe. Zbiory liniowo niezależne. Algorytm eliminacji Gaussa. Bazy.
2. Przekształcenia liniowe.
3. Macierze. Rząd macierzy.
4. Macierze a przekształcenia liniowe: przekształcenie zadane przez macierz, wyrażanie przekształceń w bazie. Macierze zmiany bazy.
5. Wyznaczniki. Własności wyznaczników. Rozwinięcie Laplace’a.
6. Równania liniowe. Zbiór rozwiązań układu równań liniowych. Wzory Cramera.
7. Wartości i wektory własne. Wielomian charakterystyczny. Postać Jordana. Macierze diagonalizowalne; diagonalizowalność macierzy symetrycznych.
8. Iloczyn skalarny. Rzut ortogonalny. Izometrie i przekształcenia ortogonalne. Elementy geometrii.
9. Macierze dodatnio określone.
10. Grupy — podstawowe pojęcia: rząd grupy, rząd elementu grupy, podgrupa.
11. Grupy permutacji. Rozkład permutacji na cykle. Znak permutacji.
12. Działanie grupy na zbiorze. Orbity i stabilizatory. Lemat Burnside’a. Warstwy. Twierdzenie Lagrange’a.
13. Arytmetyka modularna. Relacja podzielności. Pierścienie i pierścienie Zn.
14. Algorytm Euklidesa. Chińskie twierdzenie o resztach.
15. Pierścienie wielomianów. Podzielność wielomianów.
16. Przykład konstrukcji ciała skończonego.

Wymagania:

• Matematyka w zakresie szkoły średniej.
• Podstawy analizy matematycznej.
• Podstawy logiki i teorii mnogości.

Literatura

W zasadzie każda książka do algebry liniowej i algebry powinna pokryć przerabiany materiał. Poniżej przykładowe pozycje.

1. A. Białynicki-Birula, Algebra
2. G. Birkhoff, S. Mac Lane, Przeglad algebry współczesnej
3. B. Gleigchgewicht, Algebra
4. A. Kostrikin, J. Manin, Algebra liniowa i geometria
5. A. Kostrikin, Zbiór zadań z algebry
6. A. Kostrikin, Wstęp do algebry t. 1-3
7. A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej
8. A. Mostowski, M. Stark, Algebra liniowa
9. J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach