Analiza numeryczna (M)

Celem zajęć jest przedstawienie podstawowych metod i algorytmów rozwiązywania typowych zadań obliczeniowych.

Analiza błędów Arytmetyka numeryczna. Uwarunkowanie zadania. Algorytmy numerycznie poprawne.

Rozwiązywanie równań nieliniowych
Ogólna teoria metod iteracyjnych. Metody: bisekcji, Newtona
i siecznych. Równania algebraiczne.

Interpolacja funkcji
Wzór interpolacyjny Lagrange’a. Reszta wzoru interpolacyjnego.
Wzór interpolacyjny Newtona. Interpolacja Hermite’a.
Interpolacja za pomocą funkcji sklejanych III stopnia.

Aproksymacja funkcji
Aproksymacja średniokwadratowa za pomocą wielomianów –
wielomiany ortogonalne, twierdzenie o n -tym wielomianie optymalnym.
Aproksymacja jednostajna – twierdzenie
o alternansie, informacja o algorytmie
Remeza konstrukcji wielomianu optymalnego,
wielomiany prawieoptymalne.

Całkowanie numeryczne
Kwadratura liniowa. Reszta i rząd kwadratury. Zbieżność ciągu
kwadratur. Kwadratury interpolacyjne.
Kwadratury Newtona-Cotesa. Wzory złożone: trapezów i Simpsona.
Metoda Romberga. Kwadratury Gaussa.

Rozwiązywanie układów równań liniowych
Uwarunkowanie zadania. Rozkład macierzy kwadratowej na iloczyn
macierzy trójkątnych. Metoda eliminacji Gaussa.
Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych.

Literatura

• A. Björck, G. Dahlquist, Metody numeryczne, PWN, 1987.
• M. Dryja, J.i M. Jankowscy, Przegląd metod i algorytmów numerycznych, cz. 1 i 2, WNT, 1988.
• D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna, WNT, 2005.
• G. Dahlquist, A. Björck, Numerical Methods in Scientific Computing, Vol. I, SIAM, 2008.
• W. Gautschi, Numerical Analysis. An Introduction, Birkhäuser, 1997.
• G. Hämmerlin, K.-H. Hoffmann, Numerical Mathematics, Springer-Verlag, 1991.
• A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical Mathematics, Springer-Verlag, 2000.