Ciągi i szeregi często pojawiają się w zadaniach obliczeniowych. Często są to
niestety ciągi i szeregi tak wolno zbieżne, że ich użycie jest w praktyce
wykluczone; ciąg złożonych wzorow trapezow T_{mk} jako przybliżeń wartości
całki oznaczonej jest tego dobrze znanym przykładem. Dla tej przyczyny od
dawna obmyśla się i stosuje metody przyspieszania zbieżności, pozwalające w
wielu wypadkach rozwiązać zadania uważane za niemożliwe do rozwiązania w
praktyce. Punktem wyjścia w tych metodach jest naturalny pomysł ekstrapolacji.
Omowimy najskuteczniejsze metody i algorytmy przyspieszania zbieżności, m.in.
algorytm epsilon i jego uogolnienia, proces Richardsona (nawiasem mowiąc, jego
wariant omawiano wcześniej w związku z metodą Romberga), przekształcenia
Levina, proces Overholta, iterowany algorytm ,,Delta kwadrat''. Resztę wykładu
wypełnią zastosowania poznanych algorytmow m.in. w zadaniach obliczania granic
ciągow, sumowania szeregow, rozwiązywania układow rownań liniowych,
wyznaczania zer funkcji, numerycznego całkowania i rożniczkowania.
Na ćwiczeniach sporo uwagi poświęcimy praktycznej realizacji algorytmow i
doświadczeniom obliczeniowym.
**Program:**
1\. Liniowe rownania rekurencyjne: Operatory rożnicowe. Rownanie rekurencyjne
rzędu pierwszego. Ogolne własności rownań rekurencyjnych wyższych rzędow.
Numeryczne wyznaczanie rozwiązań rownań rekurencyjnych.
2\. Ułamki łańcuchowe: Wstęp. Przekształcenia rownoważnościowe. Zbieżność
ułamkow łańcuchowych.
3\. Wprowadzenie do metod ekstrapolacyjnych: Algorytmy ekstrapolacyjne.
Algorytm Haviego-Brezinskiego (algorytm E). Ekstrapolacja Richardsona.
Przekształcenie Shanksa (algorytm epsilon). Przeksztalcenia Levina.
Przekształcenie Overholta. Przekształcenie Theta. Iterowany proces ,,Delta
kwadrat''.
4\. Zastosowania: Ciągi i szeregi. Ułamki łańcuchowe. Calkowanie numeryczne.
Rozwiązywanie rownań rożniczkowych.
**Wymagania:** Analiza matematyczna Analiza numeryczna
