Takie zjawiska otaczającej nas przyrody, jak ruch w polu grawitacyjnym,
drganie sprężyny, ruch po orbicie, zagadnienia epidemiologiczne, czy model
drapieżnika i ofiary, ... opisywane są za pomocą równań różniczkowych
zwyczajnych. Pierwsza część wykładu jest wprowadzeniem do elementarnych metod
numerycznych rozwiązywania takich równań. Do prezentacji własności metod i
modeli stosuje się grafikę komputerową, w tym animację obrazu. Bardzo wygodnym
systemem do programowania obliczeń jest MATLAB. Sporo najnowszych materiałów
pomocniczych można znaleźć w internecie. Druga część wykładu poświęcona jest
modelom zawierającym równania różniczkowe cząstkowe, a więc np. równiem
ciepła, struny czy równanie falowe. Do rozwiązania tego typu problemów
będziemy stosować dość praktyczną metodę elementu skończonego. Do tworzenia
siatek obszarów obliczeniowych, a następnie do znalezienia przybliżonego
rozwiązania problemu wykorzystamy język FreeFem++.
**Program:**
1. Elementarne wprowadzenie do teorii równań różniczkowych. Przykłady równań zwyczajnych i równań cząstkowych.
2. Zagadnienia początkowe
1. Przykłady zagadnień początkowych w przyrodzie: rozmnażanie bakterii, model drapieżniki-ofiary, ruch drgający: drganie sprężyny, drgania harmoniczne, krzywe Lissajous, ruch wahadła, drganie obciążonej siatki sprężynowej, problemy balistyczne z oporem ośrodka lub bez, kilka przykładów równań opisujących ruch po orbicie.
2. Rozwiązywanie zagadnień początkowych: Metody Rungego-Kutty: metody jawne, niejawne, błąd lokalny i błąd globalny. Sterowanie wielkością kroku. Metody włożone. Obszar stabilności absolutnej metody.
3. Zagadnienia brzegowe
1. Przykłady zagadnień brzegowych: jednowymiarowy rozpływ ciepła, zagadnienie balistyczne.
2. Rozwiązywanie zagadnień brzegowych. Sprowadzenie zadania do zagadnienia początkowego - metoda strzałów. Schematy różnicowe. Rząd aproksymacji schematu, metoda przegnania rozwiązywania układu równań liniowych o macierzy trójprzekątniowej dla równania liniowego 2 rzędu. Stabilność metody przegnania.
4. Wprowadzenie do metody elementu skończonego
5. Krótki kurs języka FreeFem++
6. Analiza równania struny, równania ciepła, równania falowego
7. Transformata Fouriera
****
**Wymagania:** analiza matematyczna, analiza numeryczna
